<div dir="ltr"><font face="arial, helvetica, sans-serif" style="font-size:13px">  BINGHAMTON GEOMETRY/TOPOLOGY SEMINAR<br><br><br>   Date: Thursday, September 10th, 2015<br><br>   Time:  2.50 pm<br><br>   Place: Whitney Hall, Room 100E,  followed by coffee/tea in the<br>      Hilton Reading Room. Note the new location of the math department (</font><a href="http://www2.math.binghamton.edu/p/directions" target="_blank" style="font-size:12.8px">http://www2.math.binghamton.edu/p/directions</a><span style="font-size:12.8px">)</span><font face="arial, helvetica, sans-serif" style="font-size:13px">.<br><br><br> </font><font face="arial, helvetica, sans-serif" style="font-size:12.7273px">  </font><font face="arial, helvetica, sans-serif" style="font-size:12.8px">Speaker: </font><span style="color:rgb(0,0,0)">Wiktor</span><span style="color:rgb(0,0,0)"> </span><span style="color:rgb(0,0,0)">Mogilski (Binghamton</span><span style="color:rgb(51,51,51);font-family:Arial,sans-serif;font-size:15px;line-height:16.8px"> University) </span><div><font color="#333333" face="Arial, sans-serif"><span style="font-size:15px;line-height:16.8px"><br></span></font><div style="font-size:12.8px"><div style="font-size:12.8px"><font face="arial, helvetica, sans-serif"><font color="#333333"><span style="line-height:21px">   Title: </span></font></font><span style="color:rgb(51,51,51);font-family:Arial,sans-serif;font-size:15px;line-height:21px"> </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">The weighted Singer conjecture for </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">Coxeter</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> groups</span></div><div style="font-size:12.8px"><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"><br></span></div><div><span style="font-size:12.8px;color:rgb(51,51,51);font-family:Arial,sans-serif;line-height:21px">    Abstract: </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">Associated to a </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">Coxeter</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> system </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">(W,S)</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> there is a contractible </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">simplicial</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> complex </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">Sigma</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> called the Davis complex on which </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">W</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> acts properly and </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">cocompactly</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> by reflections. Given an </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">S</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">-</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">tuple</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> of positive real numbers </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">q</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">, one can define the weighted </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">L^2</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">-(co)homology groups of </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">Sigma</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> and associate to them a </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">nonnegative</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> real number called the weighted </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">L^2</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">-</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">Betti</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> number. Within the spectrum of weighted </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">L^2</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">-(co)homology there is a conjecture of interest called the Weighted Singer Conjecture, which was formulated in a 2007 paper of Davis--</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">Dymara</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">--</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">Januszkiewicz</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">--</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">Okun</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">. The conjecture claims that if </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">Sigma</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> is an </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">n</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">-manifold, then the weighted </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">L^2</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">-(co)homology groups of </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">Sigma</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> vanish above dimension </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">n/2</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> whenever </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">q\leq\1</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> (that is, all terms of the </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">multiparameter</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">q</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)"> are less than or equal to </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">1</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">). I will provide an overview of the current progress on the conjecture and present proofs of the conjecture (and variations of it) when </span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,128,0)">n=3,4</span><span style="font-size:12.8px;color:rgb(0,0,0)">.</span></div></div><div style="font-size:12.8px"><span style="color:rgb(51,51,51);font-family:Arial,sans-serif;font-size:15px;line-height:16.8px"><br></span></div><div style="font-size:12.8px"><span style="font-family:arial,helvetica,sans-serif;font-size:12.8px">NOTE:  The seminar has a webpage where the semester's program is listed:</span><br style="font-family:arial,helvetica,sans-serif;font-size:12.8px"><br style="font-family:arial,helvetica,sans-serif;font-size:12.8px"><a href="http://www2.math.binghamton.edu/p/seminars/topsem" target="_blank" style="font-family:arial,helvetica,sans-serif;font-size:13px">http://www2.math.binghamton.<u></u>edu/p/seminars/topsem</a></div></div></div>